比的认识
比的意义：两个数相除，又叫作两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以比的后项所得的商叫作比值。
比值可以用分数、小数或整数表示。
比和比值一样吗？不一样，比表示两个数相除的一种关系，有前项、比号、后项组成。而比值表示比的前项除以后项所得的商，比值是一个数，可以是分数、小数或整数。
比与除法、分数的联系：比的前项相当于除法的被除数，相当于分数的分子；比的后项相当于除法的除数，相当于分数的分母；比值相当于除法的商，相当于分数的分数值。
因为比的后项相当于除法中的除数，分数中的分母，除数不能为0，分母不能为0，所以比的后项也不能为0。
比与除法、分数的区别:比表示一种关系，除法是一种运算，分数是一个数。
商不变的规律:在除法里，被除数和除数同时乘或同时除以相同的数（0除外）,商不变。

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分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或者同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
最简整数比是指比的前项和后项都是整数，并且只有公因数1。
按比分配的类型：
已知总量和各部分量的比，求各部分量；
（常用解题方法：先求出总份数，再求出每份是多少，最后求各部分量。）
已知各部分量的比和其中一个部分量，求另一个部分量；
（常用解题方法：先求出每份是多少，再求另一个部分量。）
已知各部分量的比和其中一个部分量，求总量。
（常用解题方法：先求出总份数，再求出每份是多少，最后用每份量乘总份数求出总量）
比的后项不变时，如果前项越大，那么比值就越大。
比的前项不变时，如果后项越大，那么比值就越小。

大圆半径等于小圆直径时，大圆直径与小圆直径的比是（2:1  ），大圆周长与小圆周长的比是（2:1  ）大圆面积与小圆面积的比是（4:1 ）；
两个正方形的边长之比与周长之比相等，面积之比是正方形边长的平方比。
如：甲正方形的边长是2厘米，乙正方形的边长是5厘米，它的边长之比是（2:5），周长之比是（2:5），面积之比是（ 4:25   ）
两个圆的半径之比与直径之比、周长之比相等，面积之比是半径的平方比。
在同一个圆，半径与直径的比是1:2，周长与半径的比是2π：1，周长与直径的比是π：1，面积与半径的比是πr:1。
正方形的边长与它的周长的比是1:4。

圆的周长与它的半径的比值是（2π），圆的周长与它的直径的比值是（π）。

基本比值理解：
例：小红有3个苹果，小明有4个苹果。小红和小明苹果的比是多少？
解：小红和小明苹果的比是3:4。
求比值：
例：一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米。求这个长方形的长和宽的比值。
解：长和宽的比值是8:4，简化后是2:1。
按比分配：
例：按照3:2的比例分配20个苹果，问每个部分应得多少苹果？
解：3+2=5，所以每份的苹果数是20÷5=4个。按3:2的比例，第一部分应得4×3=12个，第二部分应得4×2=8个。
比较大小：
例：比较0.6和0.8的比值大小。
解：0.6和0.8的比值可以写作6:8，简化后是3:4。因为3<4，所以0.6<0.8。
比例计算：
例：一个地图上，5厘米代表实际的100公里。如果地图上的距离是12厘米，那么实际的距离是多少公里？
解：地图上5厘米代表100公里，那么1厘米代表20公里。因此，12厘米在地图上代表的实际距离是12×20=240公里。
比例的应用：
例：一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管，20分钟可将水池注满水；单独开放乙管，30分钟可将水池注满水。如果两管同时开放，多少分钟可将水池注满水？
解：设水池的总容量为1，甲管每分钟注水量为1/20，乙管每分钟注水量为1/30。两管同时开放时，每分钟的总注水量为1/20 + 1/30 = 1/12。因此，两管同时开放需要1÷(1/12)=12分钟来将水池注满。

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